9.4 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum


9.4 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik  Minimum

(A) Pembezaan Peringkat Kedua
1. Apabila suatu fungsi y = x3 + x2 – 3x + 6 dibezakan terhadap x, terbitannya
dy dx =3 x 2 +2x3  

2. Fungsi yang kedua  dy dx  boleh dibeza lagi terhadap x. Proses pembezaan dua kali berturut-turut ini dikenali sebagai pembezaan peringkat kedua dan ditulis sebagai d 2 y d x 2 .

3. Ambil perhatian bahawa d 2 y d x 2 ( dy dx ) 2 .

Misalnya,
Jika y = 4x3 – 7x2 + 5x – 1,
Terbitan pertama  dy dx =12 x 2 14x+5  

Terbitan kedua  d 2 y d x 2 =24x14   



(B) Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik  Minimum


(a) Di titik pusingan A dan B,
dy dx =0

(b) Di titik maksimum A
dy dx =0 dan  d 2 y d x 2 <0  

(c) Di titik minimum B,
dy dx =0 dan  d 2 y d x 2 >0


Contoh 1 (Nilai Maksimum suatu fungsi kuadratik)
Diberi bahawa y = 3x (4 –  x), hitungkan
(a) nilai x apabila y adalah maksimum,
(b) nilai maksimum y.

Penyelesaian:
y = 3x (4 –  x)
y = 12x – 3x2
dy dx =126x When y is maximum,  dy dx =0  
0 = 12 – 6x
x = 2

y = 12x – 3x2
apabila x = 2,
y = 12(2) – 3(2)2
y = 12


Contoh 2 (Menentukan titik pusingan dan ujian terbitan kedua)
Cari koordinat titik-titik pusingan bagi lengkung y = 2x3 + 3x2 – 12x + 7 dan tentukan jenis titik itu.

Penyelesaian:
y=2 x 3 +3 x 2 12x+7 dy dx =6 x 2 +6x12 di titik pusingan,  dy dx =0  
6x2 + 6x – 12 = 0
x2 + x – 2 = 0
(x – 1) (x + 2) = 0
x = 1 or x = –2

apabila x = 1
y = 2(1)3 + 3(1)2 – 12(11) + 7
y = 0
(1, 0) ialah suatu titik pusingan.

apabila x = –2
y = 2(–2)3 + 3(–2)2 – 12(–2) + 7
y = 27
(-2, 27) ialah suatu titik pusingan.

d 2 y d x 2 =12x+6 Apabila x=1, d 2 y d x 2 =12( 1 )+6=18>0 (positif) Oleh itu, titik pusingan ( 1, 0 ) adalah titik minimum.  

Apabila x=2, d 2 y d x 2 =12( 2 )+6=18<0 (negatif) Oleh itu, titik pusingan ( -2, 27 ) adalah titik maksimum.


0 comments:

Post a Comment